【なんJ数学部】 わい、1の原始11乗根の厳密解(根号による表記)を求めることに成功してしまう。

[0001 風吹けば名無し 2024/03/15(金) 19:20:07.61 ID:5mDBoaCH0]

ガチの厳密解の算出に成功！！！
悪魔のような数式が出てくるので注意してクレメンス。

exp(2π/11)=cos(2π/11)+i*sin(2π/11)=

-1/10
+1/40 ( - 1 + √(5) + i√(10 + 2√(5)))*(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40 ( - 1 + √(5) + i√(10 + 2√(5)))*(-11/4(89-25√(5)+(5√(5-2√(5))+45√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40 ( - 1 + √(5) - i√(10 + 2√(5)))*(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40 ( - 1 + √(5) - i√(10 + 2√(5)))*(-11/4(89-25√(5)-(5√(5-2√(5))+45√(5+2√(5)))i))^(1/5)

+i/10√(55
-5*(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5/4 ( - 1 + √(5) - i√(10 + 2√(5)))*(-11/4(89-25√(5)+(5√(5-2√(5))+45√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5*(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5/4 ( - 1 + √(5) + i√(10 + 2√(5)))*(-11/4(89-25√(5)-(5√(5-2√(5))+45√(5+2√(5)))i))^(1/5)
)


=0.841253532831181168861811648919367717513292498420537898642650117... + 0.540640817455597582107635954318691695431770607898113840035749889... i

[0002 風吹けば名無し 2024/03/15(金) 19:23:13.09 ID:5mDBoaCH0]

1の原始n乗根とはn乗して初めて1になる数のことやで。
x^n=1の解。また、
e^(i*2π/n)=cos(2π/n)+i*sin(2π/n)
です。
今回はn=11の1の原始11乗根について考える。
それを根号表記で表してみたんや。
cos(2π/n)については参考にした1番目のサイトで具体的な根号表記の値が明記されていますが、
sin(2π/n)についてはネット上では見つからなかったので頑張って計算してみた。
匙投げたくなるような計算ですが、意外と対象性があって美しいですね...



参考にしたサイト

cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった(2/11,3/10追加) | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12570494916.html
Fermat's Last Theorem: Vandermonde: Eleventh Root of Unity expressed as radicals
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/01/vandermonde-eleventh-root-of-unity.html
math discoveries
https://mathandnumberystuff.tumblr.com/tagged/roots%20of%20unity
くろべえ: 1の累乗根（x^n-1=0 の解）の図
https://kurobe3463.blogspot.com/2007/05/figure-of-radical-root-of-1.html

[0003 風吹けば名無し 2024/03/15(金) 19:24:16.46 ID:ND8lzrMz0]

チンポー湖 (*^ω^*)

[0004 風吹けば名無し 2024/03/15(金) 19:25:17.23 ID:5mDBoaCH0]

おっ、レス付いたな。

[0005 風吹けば名無し 2024/03/15(金) 19:31:46.37 ID:5mDBoaCH0]

誰か検算るすンゴ