めっちゃむずい高校数学の問題作ったンゴwww

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:34:30.49

p,qを正の実数とする.
a_1=p/(q-p)
a_n=1+(1/a_(n+1))
としたとき任意のnでa_n>0ならばq/p=(1+√5)/2であることを示せ.

結構むずない？

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:36:46.99

これ解けるなんJ民おる？

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:37:20.08

今解いてるから待ってー

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:38:13.11

（基底部分） n=1の場合、a_1 = p/(q-p) であり、q/p = (1+√5)/2 の場合、q-p = (q/p-1)p = (√5-1)p となり、a_1 = p/(√5-1)p = (√5+1)/2 > 0 となる。

（帰納部分） n=k (kは自然数) で a_k > 0 であると仮定する。つまり、 a_k = 1 + 1/a_(k+1) > 0 a_k > 0 であるため、分母が正であることから a_(k+1) > 0 であることがわかる。このとき、 a_k = 1 + 1/a_(k+1) a_k - 1 = 1/a_(k+1) a_(k+1) = 1/(a_k-1) ここで、q/p = (1+√5)/2 の場合、q-p = (√5-1)p であるため、 a_(k+1) = 1/((1+q/p-2)p/q-p-1) = q/p-1 となる。よって、a_(k+1) = q/p - 1 となるため、a_(k+1) > 0 となる。したがって、数学的帰納法により、任意の自然数nでa_n > 0 ならば q/p = (1+√5)/2 であることが示された。

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:40:54.87

数列 {a_n} がすべて正であると仮定し、q/p = (1 + √5)/2 を示すために、数学的帰納法を使用します。

まず、n = 1 の場合を考えます。数列の最初の項は a_1 = p / (q - p) です。仮定により、a_1 > 0 なので、分母 q - p も正です。したがって、両辺を q で乗算し、p を q - p で乗算すると、以下が得られます。

a_1 = p / (q - p)
q * a_1 = p * (q / (q - p))
q * a_1 = p * (1 + (p / (q - p)))
q * a_1 = p + p * (p / (q - p))
q * a_1 = p + p * (q / (q - p))
q * a_1 = p * q / (q - p)
a_2 = 1 + (q / p)

ここで、a_2 = 1 + (q / p) となりました。

次に、n > 1 の場合を考えます。仮定により、a_n > 0 です。a_n = 1 + (1 / a_(n+1)) を変形して、以下が得られます。

a_n - 1 = 1 / a_(n+1)
(a_n - 1) * a_n = a_n / a_(n+1)
a_n^2 - a_n = a_n / a_(n+1)
a_n^2 - a_n^2 / a_(n+1) = a_n
a_n * (a_(n+1) - 1) = a_n
a_(n+1) - 1 = 1 / a_n
a_(n+1) = 1 + 1 / a_n

したがって、a_n > 0 から a_(n+1) > 1 が導かれます。a_2 の計算結果より、a_2 > 1 であることがわかります。以上から、n = 2, 3, 4, ... について、すべての a_n は 1 より大きいことがわかります。

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:41:08.24

この結果を使って、q/p = (1 + √5)/2 であることを証明します。数学的帰納法により、すべての n について a_n > 0 かつ a_n > 1 であることがわかります。つまり、a_1 > 0, a_2 > 1, a_3 > 1, a_4 > 1, ... です。

次に、q/p について考えます。仮に q/p > (1 + √5)/2 とすると、q/p - (1 + √5)/2 = x とおくと、x > 0 です。このとき、以下が成り立ちます。

q/p - (1 + √5)/2 = x
q/p = (1 + √5)/2 + x
q/p = (1 + x) + (√5 / 2)

ここで、(√5 / 2) は正の定数なので、q/p > (1 + x) となります。

次に、a_2 から a_n までのすべての項が 1 より大きいことに注目します。a_2 = 1 + (q / p) > 1 であるため、q/p > 0 です。同様に、a_3, a_4, ... が 1 より大きいために、q/p > 1 です。よって、q/p > max(0, 1, 1) = 1 となります。

これは、q > p であることを意味します。さらに、a_1 > 0 より、q - p > 0 です。したがって、q/p > 1 から、q > p が導かれます。

以上から、q > p であり、q/p > 1 であることがわかりました。これは、q/p が (1 + √5)/2 より小さいことを意味します。しかし、これは矛盾しています。なぜなら、q/p が (1 + √5)/2 より小さい場合、a_1, a_2, ... がすべて正であることから、a_n が任意の n について正であることが導かれるためです。

したがって、q/p = (1 + √5)/2 であることが証明されました。

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:41:18.28

アンダーバーってなんやねん

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:43:13.16

>>4
なんか変じゃね

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:44:16.26

前提が成り立つならばq/pが一位に定まることを示せって問題なのにq/pがその値である、ってこと使ったら破綻やん

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:44:43.45

あーチャットgptに聞いたのか
AIもまだまだやな

**風吹けば名無し** · 2023/02/19(日) 22:47:47.08

>>6
これも式変形の途中で1/2+x+√5/2のところが(1+x)+√5/2ってしちゃってるし