【数学】2^x+3^y=5^zの自然数解はこれでええか？

**風吹けば名無し** · 2022/08/04(木) 21:23:55.79

1 名前：風吹けば名無し[] 投稿日：2022/08/04(木) 19:36:51.45 ID:1Oc8/He6a [1/6]
2^x+3^y=5^zを満たす自然数の組(x,y,z)を全て求めよ

頼むンゴ

自然数は1以上と解釈する
あまりこういう問題慣れてないので抜けあるかもしれんし
もっといいやり方あるかもしれん（多分ある）

**風吹けば名無し** · 2022/08/04(木) 21:24:58.43

(case1)ｘ>=3のとき
両辺を4で割った余りを比較しyは偶数
両辺を8で割った余りを比較すると
5^nを8で割った余りは5,1,5,1,...と循環するのでzは偶数
y=2u,z=2vとおく
2^x=5^2v-3^2u=(5^v-3^u)(5^v+3^u)
より5^v-3^uは2のべきだが、
2*5^vは2べきの和であり2でちょうど1回だけ割り切れるので
5^v-3^u=2しか可能性はない
5^v=3^u+2
u>=2なら右辺は8で割って3余るので不可能
u=1ならv=1でこのとき2^x=5^2-3^2=25-9=16よりx=4
(x,y,z)=(4,2,2)

**風吹けば名無し** · 2022/08/04(木) 21:26:09.41

(case2)x=2のとき
4+9^y=5^z
左辺は8で割って5余るのでzは奇数
左辺は9で割って4余るが
5^nを9で割った余りは5,7,8,4,2,1,5...と循環するので
zは6で割って4余り、奇数にはなれないのでこの場合解はない

(case3)x=1のとき
2+3^y=5^z
case1の5^v=3^u+2のときと全く同じようにして
(x,y,z)=(1,1,1)

以上より解は(x,y,z)=(4,2,2)と(1,1,1)の2つ

合っとるんかわからんわ

**風吹けば名無し** · 2022/08/04(木) 21:27:14.76

きも
数学とか好きそう(笑)